一、矩阵转置、厄米特转置、求逆
- 矩阵转置：$A^T$
- 厄米特转置（共轭转置）：$(A^T)^*=(A^*)^T$
- 矩阵的逆：$A^{-1}$（前提：A是方阵）
- 一些基本运算：
- $(A^{-1})^{-1}=A;(A^T)^T=A;(A^H)^H=A;(A^*)^*=A$
- $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T;(A^H)^{-1}=(A^{-1})^H$
- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};(AB)^T=B^TA^T;(AB)^H=B^HA^H$
二、矩阵的广义逆/伪逆(Pseudo-inverse Matrix)
矩阵的逆：对于矩阵A，若存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I为与A、B同维度的单位阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记作$B=A^{-1}$。
矩阵的广义逆：奇异矩阵（行列式为0的方阵）和非方阵没有逆矩阵，但有广义逆矩阵。
满足$A^LA=I$，但不满足$AA^L=I$的矩阵$A^L$为A的左逆矩阵
满足$AA^R=I$，但不满足$A^RA=I$的矩阵$A^R$为A的右逆矩阵
仅当$m\ge n$时，列满秩，矩阵$A_{m,n}$有左逆矩阵，$A^L=(A^TA)^{-1}A^T$
仅当$n\ge m$时，行满秩，矩阵$A_{m,n}$有右逆矩阵，$A^R=A^T(AA^T)^{-1}$
当$n=m$时，矩阵$A_{m,n}$的秩为$r\le m=n$
对A进行奇异值分解：$A=UDV^T$
A的广义逆矩阵为：$A^{\dagger}=VD^{\dagger}U^T$
其中$D=\left(\begin{array}{ll}\Sigma & 0 \ 0 & 0\end{array}\right)$，$D^{\dagger}=\left(\begin{array}{ll}\Sigma^{-1} & 0 \ 0 & 0\end{array}\right)$。
广义逆是唯一的，满足：$ABA=A,BAB=B,(AB)^T=AB,(BA)^T=BA$（B为A的广义逆）
广义逆矩阵的意义
对于n元线性方程组$AX=B$，其解有3种情况：有唯一解、有无穷解、无解。其中$A_{m,n}$是非满秩矩阵（即不可逆）,$B_{m,1}$
有唯一解。$r(A)=r(AB)=n$
有无穷解。$r(A)=r(AB)<n$，此时A行满秩，线性方程个数小于变量个数，故有无穷解。通过构造右逆矩阵，可得到一个最接近原点的唯一解$X^0$。$X^0=BA^R$是方程$AX=B$所有解中最接近原点的。
无解。$r(A)<r(AB)$，此时B不在A的列空间中，只能在A的列空间中找到一个与B的欧氏距离最小的$B’$，满足$B’=AX^0$，$X^0$是使得范数$||AX-B||$最小化的近似解。构造$X^0=A^LB$，$A^L$为左逆矩阵。
广义逆是几何约束条件下的最优解
三、ZF预编码
预编码技术是在下行链路的发送端利用信道状态信息（CSI）对发送信号进行预处理，将不同用户及天线之间的干扰最小化，并将信号能量集中到目标用户附近，使接收端获得较好的信噪比（SNR），提高系统信道容量。（其中采用基于统计信道信息的预编码，统计信道状态相较于即时信道状态变化慢，可采用简单的长期反馈方式或信道互易性得到）
信道矩阵$H_{M,K}$（K个用户，M根天线，每行为一个用户信道信息）；ZF预编码矩阵$W_{M,K}$（每列为一个用户的预编码向量）。（此处为左逆矩阵）
$$
\mathbf{W}=\mathbf{H}^{\dagger}=\mathbf{H}\left(\mathbf{H}^\mathbf{H}\mathbf{H}\right)^{-\mathbf{1}}=\left[w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{k}\right]
$$
ZF预编码致力于消除不同用户间的干扰，不考虑噪声的影响。ZF预编码矩阵与信道矩阵相乘以后，得到一个近似的对角矩阵（除对角线元素为1以外的其它元素趋于0）
例：
四、参考
- 矩阵论基础 3.4线性方程组的解
- 伪逆矩阵（广义逆矩阵）
- 郑和. 大规模 MIMO 预编码技术研究与实现[D]. 电子科技大学, 2015.
- 详解大规模MIMO系统中的预编码技术