信道估计|LS、MMSE、LMMSE算法

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发布日期: 2022-08-28

更新日期: 2022-08-28

文章字数: 2.9k

阅读时长: 13 分

前言

最近在学习 5G NR 的仿真，无论是控制信道还是数据信道，都涉及到信道估计的相关算法，如 LMMSE 和基于 PDP 的 LMMSE 算法等。并且常常把信道估计和信道均衡搞混，因为都有 MMSE 算法？于是打算从基本概念、常用算法及其公式推导等方面学习一下信道估计理论，并将学习的博客资料整理下来。本文主要介绍基于参考信号的信道估计算法：LS、MMSE 和 LMMSE。其中 LS 和 MMSE 部分的误差分析推导来自于：LS信道估计和MMSE信道估计部分公式推导。

一、基本概念

定义：从接收数据中将假定的某个信道模型的模型参数估计出来的过程。如果信道是线性的话，那么信道估计就是对系统冲激响应进行估计。估计算法的基本思想是令某种估计误差最小化。
分类：
- 从输入数据类型区分，可划分为时域和频域两类，频域方法主要针对多载波系统；时域方法适用于所有单载波和多载波系统。
- 从先验信息的角度，可分为以下三类：
  - 基于参考信号的估计（非盲估计）。按一定估计准则确定待估参数，依赖于训练序列或导频序列。常用算法如 LS 算法（最小二乘准则）、MMSE 算法（最小均方误差准则）和 LMMSE 算法等。
    
    基于训练序列的信道估计算法适用于突发传输（短时间进行高带宽数据传输）方式的系统。通过发送已知的训练序列，在接收端进行初始的信道估计，当发送有用的信息数据时，利用初始的信道估计结果进行一个判决更新，完成实时的信道估计。基于导频符号的信道估计适用于连续传输的系统。通过在发送的有用数据中插入已知的导频符号，可以得到导频位置的信道估计结果；接着利用导频位置的信道估计结果，通过内插得到有用数据位置的信道估计结果，完成信道估计。
  - 盲估计。利用调制信号本身固有的、与具体承载信息比特无关的一些特征，或是采用判决反馈的方法来进行信道估计的方法。主要有基于最大期望的信道估计、基于子空间的信道估计技术等。
  - 半盲估计。以上两种方法的结合，即盲估计+较短的训练序列。主要有基于 DFT 的信道估计以及基于判决反馈信道估计等。
比较
- 基于参考信号的信道估计算法复杂度低，但需要额外的参考信号开销，会降低频谱效率；
- 盲估计和半盲估计频谱效率高，但复杂度也高，且可能出现相位模糊（基于子空间的方法）、误差传播（如判决反馈类方法）、收敛慢或陷入局部极小等问题。实际工程中更多采用的是基于参考信号的估计算法。

二、基本假设

考虑一般的接收信号模型：

$\mathbf{y}=\mathbf{X h}+\mathbf{z}$

其中，$\mathbf{y}\in\mathbb{C}^{N\times1}$ 为接收信号向量，$\mathbf{h}\in\mathbb{C}^{M\times1}$ 为信道向量，$\mathbf{X}\in\mathbb{C}^{N\times M}$ 为发送信号矩阵（导频），$\mathbf{z}\in\mathbb{C}^{N\times 1}$ 为噪声向量，且 $\mathbf{z}\sim\mathcal{CN}(\mathbf{0},\sigma_z^2\mathbf{I})$。

三、LS 算法

3.1 公式推导

LS 算法基于最小二乘准则，优化目标是实际观测量 $\mathbf{y}$ 与估计观测量 $\mathbf{X\hat{h}}$ 间误差最小。即令下述目标函数最小化：

$\begin{aligned} \mathrm{J}(\hat{\mathbf{h}})_{\mathrm{LS}}&=||\mathbf{y-X\hat{h}}||^2\\ &=(\mathbf{y-X\hat{h}})^\mathrm{H}(\mathbf{y-X\hat{h}})\\ &=\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{y}-\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}\mathbf{\hat h}-\mathbf{\hat h}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{y}+\mathbf{\hat h}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}\mathbf{\hat h} \end{aligned}$

令该函数的一阶导为0，即：（这里是标量对向量求导，可以利用矩阵迹的性质，可参考文章：矩阵的迹——性质及运算）

$\frac{\partial \mathrm{J}(\hat{\mathbf{h}})_{\mathrm{LS}}}{\partial \hat{\mathbf{h}}}=-(\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{X})^{\mathrm{T}}+(\mathbf{\hat h}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{X})^{\mathrm{T}}=0$

可得到 LS 信道估计的解：

$\mathbf{\hat h}_{\mathrm{LS}}=(\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{y}$

这里求解的方法除了求导以外，还可以利用配方法和投影法，另外两种方法可以参考这位大佬的文章：LS信道估计和MMSE信道估计部分公式推导。

当发送信号矩阵 $\mathbf{X}$ 满秩时，可化简为：

$\mathbf{\hat h}_{\mathrm{LS}}=\mathbf{X}^{-1}\mathbf{y}$

3.2 估计误差

LS 估计算法忽略了噪声的影响，因为它使用的是实际观测量与估计观测量的误差，这并不能精确的代表估计量的真值与估计值的误差。从其估计值和真实值间的均方误差可以看出来：

$\begin{aligned} \varepsilon_{\mathrm{LS}} &=\mathbb{E}\left\{\left\|\hat{\mathbf{h}}_{\mathrm{LS}}-\mathbf{h}\right\|^{2}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\left\|\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}(\mathbf{X h}+\mathbf{z})-\mathbf{h}\right\|^{2}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\left\|\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right\|^{2}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\left(\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right)^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\operatorname{tr}\left(\mathbf{z}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-2} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right)\right\} \\ &=\operatorname{tr}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbb{E}\left\{\mathbf{z} \mathbf{z}^{\mathrm{H}}\right\} \mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-2}\right) \\ &=\operatorname{tr}\left(\sigma_{z}^{2}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\right)\\ &=\frac{\sigma_z^2}{\sigma_x^2}\\ &=\frac{1}{\mathrm{SNR}} \end{aligned}$

由此可知，在低信噪比下，LS 估计算法的估计误差将会非常大。

四、MMSE 算法

4.1 公式推导

MMSE 算法基于最小均方误差准则，以信道估计值和真实值误差最小化为优化目标，由滤波矩阵和接收信号向量组成，即 $\mathbf{\hat h}_{\mathrm{MMSE}}=\mathbf{W}\mathbf{y}$。其目标函数为：

$\begin{aligned} \mathrm{J}(\mathbf{W})&=\mathbb{E}\left\{||\mathbf{\hat{h}-h}||^2\right\}\\ &=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{\mathbf{W}\mathbf{y}-h})^\mathrm{H}(\mathbf{\mathbf{W}\mathbf{y}-h})\right\}\\ &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}-\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}-\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}+\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}\right\}\\ &=\mathbb{E}\left\{\operatorname{tr}\left(\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}-\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}-\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}+\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}\right)\right\} \end{aligned}$

同样利用标量对向量求导的运算方法，令其一阶导为0，得到

$\frac{\partial \mathrm{J}(\mathbf{W})}{\partial \mathbf{W}}=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{yy}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}})^{\mathrm{T}}-(\mathbf{y}\mathbf{h}^{\mathrm{H}})^{\mathrm{T}}\right\}=0$

因此对应的滤波矩阵为

$\begin{aligned} \mathbf{W}&=\mathbb{E}\left\{\mathbf{hy}^{\mathrm{H}}\right\}\mathbb{E}\left\{\mathbf{yy}^{\mathrm{H}}\right\}^{-1}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hy}}\mathbf{R}_{\mathbf{yy}}^{-1} \end{aligned}$

其中，

$\begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathbf{h y}} &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{h} \mathbf{y}^{\mathrm{H}}\right\}=\mathbb{E}\left\{\mathbf{h}(\mathbf{X} \mathbf{h}+\mathbf{z})^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{h} \mathbf{h}^{\mathrm{H}}\right\} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\mathbb{E}\left\{\mathbf{h} \mathbf{z}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \\ \mathbf{R}_{\mathbf{yy}} &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{y} \mathbf{y}^{\mathrm{H}}\right\}=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{X} \mathbf{h}+\mathbf{z})(\mathbf{X h}+\mathbf{z})^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{X h h ^ { \mathrm { H } }} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}\right\}+\mathbb{E}\left\{\mathbf{z} \mathbf{z}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbf{X R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I} \end{aligned}$

因此，MMSE 信道估计值为：

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{h}}_{\mathrm{MMSE}}&=\mathbf{R}_{\mathbf{hy}}\mathbf{R}_{\mathbf{yy}}^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{X}^{-1}\left(\mathbf{X R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)(\mathbf{X}^{\mathrm{H}})^{-1}\right]^{-1}\mathbf{X}^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_z^2\left(\mathbf{X}^{\mathbf{H}}\mathbf{X}\right)^{-1}\right]^{-1}\mathbf{X}^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_z^2\left(\mathbf{X}^{\mathbf{H}}\mathbf{X}\right)^{-1}\right]^{-1}\mathbf{\hat h_{\mathrm{LS}}} \end{aligned}$

注意：最后一个等号满足的条件是 $\mathbf{X}$ 满秩。

4.2 估计误差

MMSE 算法考虑了噪声的影响，其估计值与真实值之间的均方误差为

$\begin{aligned} \varepsilon_{\mathrm{MMSE}}&=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{\hat h-h})^{\mathrm{H}}(\mathbf{\hat h-h})\right\}\\ &...\\ &=\sigma_z^2\operatorname{tr}\left\{\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1} \right\} \end{aligned}$

具体推导过程请参考这位大佬的文章：LS信道估计和MMSE信道估计部分公式推导。此处不再详细描述。

此外，通过比较 LS 和 MMSE 均方误差大小，可以看出在均方误差意义上，MMSE 的性能优于 LS 的性能：

$\begin{aligned} \varepsilon_{\mathrm{LS}}-\varepsilon_{\mathrm{MMSE}} &=\sigma_{z}^{2} \operatorname{tr}\left\{\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}-\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\right\} \\ &=\sigma_{z}^{2} \operatorname{tr}\left\{\left(\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{h}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)-\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\right)\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\right\} \\ &=\sigma_{z}^{4} \operatorname{tr}\left\{\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\right\} \\ &=\sigma_{z}^{4} \operatorname{tr}\left\{\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\right\} \end{aligned}$

其中，迹函数中的两个矩阵分别是半正定和正定的，因此该式大于0，故 LS 算法的估计误差大于 MMSE 算法的估计误差。

五、LMMSE 算法

LMMSE 信道估计是在 MMSE 信道估计的基础上做了一次线性平滑。因为随着输入信号和噪声的变化，MMSE 算法需要不断进行矩阵求逆运算（包含两个矩阵求逆），计算量非常大。因此可以考虑将 MMSE 式中的 $\mathbf{X}^{\mathbf{H}}\mathbf{X}$ 用其均值来替代，可以减少一个矩阵求逆的运算量。

这样做的原因在于：该矩阵是一个 $M\times M$ 的方阵，对角线上是导频信号的功率值，非对角线元素则是导频信号与其延迟信号的相关，该相关值可近似为满足标准正态分布的信号，即均值为0。故可以用均值来替代原来的矩阵，以损失部分精度为代价，大幅降低计算复杂度。

则对应的 LMMSE 估计值可以表示为

$\hat{\mathbf{h}}_{\mathrm{LMMSE}}=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\frac{\beta}{\mathrm{SNR}}\right]^{-1}\mathbf{\hat h_{\mathrm{LS}}}$

其中，$\beta$ 是调制类型参数，当采用 QPSK 调制时，$\beta=1$，采用 16QAM 时，$\beta=17/9$。

此时每次传输只需要进行一次求逆即可，可以通过 SVD 等方法继续简化，具体推导可见：信道估计之LMMSE估计。