前言
基于可重构全息表面的波束赋形方案论文翻译及笔记。
《Reconfigurable Holographic Surface Enabled Multi-User Wireless Communications: Amplitude-Controlled Holographic Beamforming》
一、文章背景
为了实现 6G 所要求的移动连接和高吞吐量服务，传统大规模相控阵的 MIMO 技术需要大量移相器和功率放大器来构建复杂的相移电路，以实现精确的波束赋形。但随着阵列规模的扩大和通信频率的提高，相控阵日益增长的硬件成本和功耗变得令人望而却步，严重阻碍了其未来的发展。幸运的是，由于超材料的可编程性和可调谐性，出现了一种可重构的天线范例，称为可重构全息表面（Reconfigurable Holographic Surface，RHS）。其技术基础在于，利用全息原理，RHS 可以用作与收发机集成的发射/接收天线，且能够产生定向波束。此外，RHS 还有如下优点：
- 基于印刷电路板技术（printed-circuit-board，PCB），RHS 的尺寸和重量比传统相控阵小得多；
- RHS 不依赖于内部有源放大和复杂的相移电路，因此功耗很低；
- 由于制造RHS所需的所有组件(如变容二极管、PCB和DC控制电路)都是大批量商业现货供应的零件，因此RHS的整体制造和硬件成本较低。
目前关于 RHS 的研究可粗略地分为两类：硬件组件设计和辐射模式控制。前者主要包括利用 PIN 二极管的开关状态控制振幅以及在 RHS 上加载液晶，以通过液晶的电容随着偏置电压而变化控制振幅。后者则是通过设计算法以对辐射方向图进行优化，如 RHS 旁瓣对消算法或基于 RHS 的波束赋形算法。
二、文章贡献
该文章的主要工作如下：
考虑下行链路 RHS 辅助的多用户通信系统，提出基于 RHS 的混合波束赋形方案。在基带完成数字波束赋形（Digital Beamforming），在 RHS 上进行全息波束赋形（Holographic Beamforming），用户端进行接收合并（Combining）。
建立以和速率最大化为目标的优化模型，并将该问题拆分为三个子问题：
数字波束赋形：ZF 预编码 + 注水功率分配。
全息波束赋形：分式规划。通过线性近似将非凸问题转化为凸优化问题，再利用 Language 乘子法迭代求解。
模拟接收合并：坐标上升法。
最后通过三个子问题的交替迭代求解，直至问题收敛，得到次优解。
仿真结果验证了该和速率最大化算法的有效性。还评估了发射功率、RHS 大小和用户数量对系统性能的影响。表明 RHS 可以获得比相同尺寸的相控阵更高的和速率。
三、可重构全息表面（Reconfigurable Holographic Surface，RHS）
3.1 物理结构
基于 RHS 的系统工作流程为：发射机将发射信号发送到 RF 链。然后，RF 链将信号上变频到载波频率，并将上变频后的信号发送到 RHS。在 RF 链中作为高频电流传输的信号将被转换成在 RHS 上传播的电磁波（参考波）。RHS 再通过全息波束形成产生具有期望方向的波束。
RHS 由三部分组成：馈电（Feed）、波导（waveguide）和亚波长超材料辐射单元构成的离散阵列平面。
- 馈电：嵌入在 RHS 底层，每条 RF 链连接到一个馈电点，馈电负责将接收到的高频电流转化为电磁波，即参考波，沿着RHS的表面传播并激发RHS的电磁场。
- 波导：参考波的传播介质。参考波在波导中传播，并将能量泄漏到自由空间中。
- 超材料辐射单元：超材料辐射单元由基于有效介质理论的具有超常电磁特性或结构的人工复合材料制成，其电磁响应可以通过磁或电偏置场智能控制。每个辐射元件由参考波激励，使得参考波的辐射特性由每个辐射元件的电磁响应和泄漏复传播常数决定。
注意：RHS 与智能反射面（Intelligent Reflecting Surface，IRS）是不同的：
- RHS 的 RF 前端集成在 PCB 中，其构建全息图案时无需额外的控制链路，可充当发射和接收天线；
- IRS 的 RF 前端在 IRS 的外部，IRS 与发射机间需要额外的控制链路重建相移或振幅，一般充当中继。
3.2 全息原理（Holographic Principle）—— 本文重点之一
RHS 可以利用全息干涉原理，记录参考波和目标波之间的干涉，称此过程为构造全息图案（Holographic Pattern）。如图1(b)所示，假设 RHS 由 $M\times N$ 个辐射单元组成，则在第 $(m,n)$ 个辐射单元处，沿方向 $(\theta_0,\varphi_0)$ 传播的目标波和在馈电点 $k$ 处的参考波可以表示为
$$
\begin{aligned}
&\Psi_{o b j}\left(\mathbf{r}{m, n}, \theta{0}, \varphi_{0}\right)=\exp \left(-j \mathbf{k}{f}\left(\theta{0}, \varphi_{0}\right) \cdot \mathbf{r}{m, n}\right),\quad(1)\
&\Psi{r e f}\left(\mathbf{r}{m, n}^{k}\right)=\exp \left(-j \mathbf{k}{s} \cdot \mathbf{r}{m,n}^{k}\right),\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2)
\end{aligned}\
$$
其中，$\mathbf{k}{f}\left(\theta_{0}, \varphi_{0}\right)$ 是自由空间中目标方向的传播向量，$\mathbf{k}{s}$ 是参考波传播向量，$\mathbf{r}{m,n}$ 是第 $(m,n)$ 个辐射单元的位置，$\mathbf{r}{m,n}^{k}$ 是馈电点 $k$ 到辐射单元 $(m,n)$ 的向量。则目标波与参考波之间的干涉就可以表示为
$$
\Psi{i n t f}\left(\mathbf{r}{m, n}^{k}, \theta{0}, \varphi_{0}\right)=\Psi_{o b j}\left(\mathbf{r}{m, n}, \theta{0}, \varphi_{0}\right) \overline{\Psi_{r e f}\left(\mathbf{r}{m, n}^{k}\right)}\quad(3)
$$
因此，全息图案就可以一个 $M\times N$ 矩阵表示，其第 $(m,n)$ 个元素就是 $(3)$ 。当全息图案被参考波所激发时，就得到方向 $(\theta_0,\varphi_0)$ 的目标波：
$$
\Psi{inft}\Psi_{ref}\propto \Psi_{obj}|\Psi_{ref}|^2
$$
为了利用全息图案实现全息波束赋形，RHS 通过调谐来控制振幅，其辐射波与期望的定向波束同相的辐射元件被调谐为强辐射，而异相的辐射元件被解谐为不辐射。具体原理如下：
干涉的实部 $\mathrm{Re}[\Psi_{intf}]$ 恰好是目标波与参考波之间相位差的余弦，因此当其相位差增大时 $\mathrm{Re}[\Psi_{intf}]$ 减小，正好符合对振幅控制的要求。为保证值非负， $\mathrm{Re}[\Psi_{intf}]$ 被归一化到 $[0,1]$ 间，因此数学上可将沿方向 $(\theta_0,\varphi_0)$ 传播的目标波表示为
$$
M\left(\mathbf{r}{m,n}^k,\theta_0,\varphi_0\right)=\frac{\mathrm{Re}[\Psi{intf}\left(\mathbf{r}_{m,n}^k,\theta_0,\varphi_0\right)]+1}{2}\quad\quad(4)
$$
通过改变每个辐射元件中的辐射振幅，可以记录对应于不同目标波方向的不同全息图案。
四、系统模型
4.1 配置
如图3所示，BS 共传输 $L$ 路数据流给 $L$ 个 UE，每个 UE 配置 $J$ 根天线和一条 RF 链。BS 共配置 $K$ 条 RF 链（要求 $K\ge L$），每条 RF 链连接至一个 Feed，每个 Feed 连接到每一个超材料辐射单元（共 MN 个），然后所有辐射单元的参考波叠加，获得多个目标方向的波束，每个辐射单元的振幅由全息波束赋形矩阵中的元素 ${M_{m,n}}$ 控制。
4.2 通信模型
用户 $l$ 接收信号：
其中，$\mathbf{M}$ 是一个 $MN\times K$ 矩阵，组成元素为 ${M_{m,n}·\mathrm{e}^{-j\mathbf{k}s·\mathbf{r}{m,n}^k}}$，$\mathrm{e}^{-j\mathbf{k}s·\mathbf{r}{m,n}^k}$ 是参考波的相位。$\mathbf{V}_l$ 是矩阵 $\mathbf{V}$ 的第 $l$ 列，$\mathbf{z}_l\sim \mathcal{CN}(0,\sigma^2\mathbf{I}J)$ 是加性高斯白噪声，$\mathbf{W}l$ 是用户 $l$ 的 $J\times 1$ RF 接收合并矩阵，$\mathbf{W}l={\mathrm{e}^{i\phi{l}^1},\cdots,\mathrm{e}^{i\phi{l}^j},\cdots,\mathrm{e}^{i\phi{l}^J}}$，依靠相移器实现，因此满足恒模约束 $|\mathbf{W}_l(j)|^2=1$。$\mathbf{H}_l\in \mathbb{C}^{J\times MN}$ 是用户 $l$ 的复信道增益矩阵。此外，BS 和每个用户间的通信环境被建模为具有 $I$ 条径的稀疏的毫米波信道。
信道
其中，$\alpha_l^i$ 是第 $i$ 径的复增益，$\phi_{r_i}^l$ 和 $(\theta_{t_i}^l,\varphi_{t_i}^l)$ 分别是 AOA 和 DOA。最后两项则分别是接收端和发射端的阵列响应向量，以平面波假设建模。
速率
五、和速率最大化为目标的波束赋形方案
目标优化模型
其中，$P_T$ 是 BS 的总发射功率约束。
本文重点之二：将优化问题拆解为3个子问题求解
数字波束赋形
给定全息波束赋形参数 ${M_{m,n}}$ 和模拟接收合并矩阵 $W$，求解子问题
利用 ZF 和 注水定理求解得到数字 BF 矩阵 $V$。
全息波束赋形
给定 $V$ 和 $W$，求解子问题
其中，由于实值矩阵与其它矩阵内积的模是非凸项，可以用线性函数的仿射特性将其消除。因此利用线性近似将该子问题转化一个凸优化问题
其中，$A_l$ 的表达式为
然后可以利用 Lagrange 乘数法对该问题进行求解，具体的求解过程可以参考论文，此处不再赘述。
模拟接收合并
给定 $V$ 和 ${M_{m,n}}$，求解子问题
此子问题可以通过等价转换之后对相位 $\varphi_j$ 求导求解（坐标上升法）。
整体算法描述 —— 联合和速率优化算法
该问题的求解是一个迭代优化过程，每次固定的参数都是其它子问题在该次迭代所得的局部最优解，第一次迭代则需要设定初始值。该问题的求解流程可归纳为下述框图：
算法复杂度：$\mathcal{O}(N_{\max}·(L^2+M^3N^3+J^3L)$，当 $MN\gg J,MN\gg L$ 时为 $\mathcal{O}(N_{\max}·(M^3N^3)$。 其中，$N_{\max}$ 是最大迭代次数。
六、仿真结果
仿真参数
通过控制每个辐射单元的辐射幅度，RHS 具有精确的多波束控制能力
和速率与 RHS 大小的关系： 算法对 CSI 具有鲁棒性（imperfect CSI 下性能下降很少），且中等大小的 RHS 即可提供足够高的和速率（根据有效介质理论，元件间距为 1/4波长，在该仿真参数下为 0.25cm，当 M=40 时，RHS 尺寸为 10cm，用户速率可达 8Gbps（此处为3个用户））
和速率与发射功率的关系
RHS 与相控阵的硬件损耗对比
和速率与服务用户数
迭代次数的累计概率密度分布（CDF）
七、结论
- 依靠振幅控制，RHS 有精确控制多波束发能力
- 中等尺寸的 RHS 即可提供足够高的和速率（物理尺寸为10cm 的 RHS 可以实现 Gbps 规模的和速率）
- RHS 可以实现比相同大小的相控阵更高的和速率，这表明 RHS 提供了一种强大的解决方案来处理不断增长的数据需求，同时降低了硬件成本